aljabar boolean

     

Aljabar Boolean

Aljabar Boolean atau biasa disebut juga sebagai Aljabar Biner, yaitu suatu sistem aljabar yang hanya memiliki dua macam konstanta, yaitu ‘0’ dan ‘1’. Dimana dua konstanta ini (0 dan 1) digunakan untuk menggambarkan (mewakili) keadaan (state) suatu terminal. Keadaan (state ini) pada umumnya dianalogikan dengan level tegangan.

Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang mencakup "intisari" operasi logika AND, OR dan NOR serta exclusive OR

Dalam Aljabar Boolean, besaran yang dapat berubah (dapat bernilai ‘0’ atau ‘1’) dituliskan dengan simbol huruf misal A, B, C dan sebagainya.

TEOREMA ALJABAR BOOLEAN

Berikut adalah beberapa teorema aljabar boolean yang biasa digunakan untuk menyederhanakan Rangkaian Logika .

1. Komutatif
1. A + B = B+A
2. A . B = B . A
2. Asosiatif
1. ( A + B ) + C = A + ( B+ C )
2. ( A . B ) . C = A . ( B . C )
3. Distributif
1. A . ( B + C ) = ( A . B ) + ( A + C )
2. A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )
4. Identitas
1. A + A = A
2. A . A = A
5. Negasi
1. ( A’ ) = A’
2. ( A” ) = A
6. De Morgans
1. ( A + B )’ = A’ . B’
2. ( A . B )’ = A’ + B’

7. Tambahan
1. 0 + A = A
2. 1 . A = A
3. 1 + A = 1
4. 0 . A = 0
5. A’ + A = 1
6. A’ . A = 0
7. A + A’ . B = A + B
8. A . ( A’ + B ) = A . B

Rangkaian Digital ekivalen dengan Persamaan Logika

—  Misalnya diketahui persamaan logika:

—  x = A.B+C

—  Rangkaiannya:

Universalitas  Gerbang AND

Universalitas Gerbang OR

TABEL RUMUS PADA ALJABAR BOOLEAN

No	AND	OR	KETERANGAN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	(A.B).C = A.(B.C)  A .B = B .A (A+B).(A+C)=A+(B.C) A.O = O A.A =   A A.A=  O A   =  A A.O=  O A .1 =   A A.(A + B ) = A	(A+B)+C=A+(B+C) A+B=B+A (A.B)+(A.C)=A(B+C) A+1= 1 A+A=A A+ A=1 A = A A + O = A A + 1 = 1 A + (A.B) = A	Hk.Asosiatif Hk.Komutatif Hk.Distributif Hk.Identitas Hk.Idempoten Hk.Inversi/Negasi Hk.Negasi Ganda Hk.Hubungan Dgn Suatu Konstanta Hk.Absorbsi

ALJABAR BOOLEAN MITERM DAN MAXTREM

Tabel Kebenaran

MITERM

MITERM  Adalah suku dalam persamaan yang memiliki

hubungan operasi AND antar variabel secara

lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR

Contoh.

                Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B’C dalam

                minterm

Jawab.: Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan C

                suku pertama A = A(B+B’) (C+C’)

                                                                    = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’

                suku kedua  BC  = B’C (A+A’)

                                                                    = AB’C + A’B’C

Jadi penulisan Minterm untuk F = A + B’C

adalah     F  = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C

                                                 = m₇ + m₆ + m₅ + m₄ + m₁

Atau dapat ditulis dengan notasi 

A	B		C		F
0 0 0 0 1 1 1 1		0 0 1 1 0 0 1 1		0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 0 0 1 1 1 1

F (ABC) = S (1,4,5,6,7)

                                                                             

MAXTREM

MAXTREM Adalah suku dalam persamaan yang memiliki

hubungan operasi OR antar variabel secara

lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan

operasi AND.

Contoh.

  Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’Z dalam

  Maxterm.

Jawab.

                Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z dengan menggunakan Hk.Distributif

                                F = XY + X’Z = (XY + X’) (XY + Z)

                                   = (X + X’) (Y + X’) (X + Y) (X + Z)

                                   = (X’ + Y) (X + Z) (Y + Z)

Untuk suku 1

                (X’+ Y) = X’+ Y + ZZ’ = (X’ + Y + Z) (X’ + Y + Z’)

                (X + Z) = X + Z + YY’ = (X + Z + Y) (X + Y’ + Z)

                (Y + Z) = Y + Z + XX’ = (X + Y + Z) (X’ + Y + Z)

Jadi dapat ditulis

                F (XYZ) = (X+Y+Z) (X+Y’+Z) (X’+Y+Z) (X’+Y+Z’)

                                                = M₀.M₂.M₄.M₅

Atau ditulis dengan notasi

                F (XYZ) = p (0,2,4,5)

TABEL KEBENARAN

A	B	C	F
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 0 1 0 0 1 1